1999-12-10
© Kent Lund
SIFFROR, RÄKNEORD OCH TAL1. Siffror och tal
Tecknen för talen 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 kallas arabiska siffror. Dessa ursprungligen hindu-indiska tecken och talet noll samt decimalsystemet introducerades i Europa av araberna för knappt tusen år sedan. Först på 1500-talet kom dessa betydelsefulla matematiska uppfinningar att tillämpas mer allmänt i Europa.
De arabiska siffrorna är idag internationella och används praktiskt taget i alla länder och i de flesta skriftspråk.
De mer än tvåtusen år gamla taltecknen I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X , L, C, D, M är också siffror men kallas romerska siffror. De används fortfarande om än i begränsad omfattning; oftast vid siffermässig beteckning av ordningstal, på t.ex kungar och kapitel i böcker. Observera att det romerska systemet inte har något tecken för talet noll.
Det romerska tecknet II, det decimala tecknet 2 och det binära tecknet 10 (ett noll) är olika siffror men har ändock samma betydelse och denna gemensamma betydelse refererar till talet två. Talet två är det som utmärker alla par, talet tre det som kännetecknar alla trion; oavsett alla egenskaper i övrigt.
Om man hos en klass av objekt fråndrar de individuella olikheterna mellan objekten och endast betraktar objekten som enheter så bildar klassen ett tal.
Klassen - gruppen - kan bestå av de mest skilda objekt, saker, ting, föremål och företeelser. Genom att abstrahera de individuella olikheterna hos objekten erhålls det som ytterst är gemensamt för alla objekt i klassen, nämligen antalet objekt i klassen.
Siffror är de tecken som betecknar och representerar tal. Talen i sig har ingen "språklig dräkt" och kan därför sägas vara internationella.
Om man efter en olycka säger att dödssiffran ökar menar man förmodligen att det är dödstalet som ökar. Storleken på siffror mätt i millimeter kan naturligtvis variera.
Man bör därför skilja mellan talets tecken och talet i sig.Med tal avsåg man ursprungligen de "naturliga" talen, dvs hela positiva tal som 1, 2, 3, 4 osv. Under årtusenden kom talbegreppet att successivt utvidgas med bråk, negativa tal, irrationella tal, imaginära tal och kanske det viktigaste; talet noll. Begreppet noll fyller minst två viktiga funktioner, dels att utgöra origo i koordinatsystem och dels att vara platsvärden i positionssystem.
Anm.: Det finns således ingen nolla i det romerska talsystemet. Epoken - startidpunkten - origo - för den gregorianska kalendern är därför början av år I. Vid början av år II hade således endast ett år förflutit.
Det första decenniet omfattar åren
I - X; det andra decenniet XI - XX; det tredje decenniet XXI - XXX
Det första seklet omfattar åren I - C; det andra seklet CI - CC; det tredje seklet CCI - CCC
Det första millenniet omfattar åren I - M; det andra millenniet MI - MM; det tredje millenniet MMI - MMM
Således påbörjas den 1 januari år MMI (= år 2001) både det tjugoförsta seklet och det tredje millenniet
Det tjugonde seklet (århundradet) omfattar åren 1901-2000. 1900-talet är inte exakt detsamma som det tjugonde seklet utan omfattar åren 1900-1999.
2. Positionssystem (eller talbeteckningssystem)
Ett positionssystem är ett talbeteckningssystem i vilket en siffras betydelse även beror
på dess plats- position- i talbeteckningen. Exempelvis siffran 2 i decimalsystemet kan
beteckna två ental, två tiotal, två hundratal, två tusental och så vidare, beroende på
var i talbeteckningen siffran är placerad. Siffrorna 2222 representerar- från höger till vänster- 2 ental + 2 tiotal + 2 hundratal + 2 tusental.
Ett positionssystem som har basen
- tio kallas tiosystemet eller decimalsystemet
Anm.: Användes i Indien på 500-talet men blev först på 1500-talet via araberna känt i Europa.
- två kallas tvåsystemet eller det binära systemet
Anm.: Den binära serien 1, 2, 4, 8,… användes i Egypten redan för 3500 år sedan. I nternt i
datorer och räknedosor utförs beräkningar i binär form.
- sextio kallas sexagesimalsystemet
Anm.: Basen 60 användes i Babylonien för 4000 år sedan. Ännu idag använder vi basen 60 vid vinkel- och tidindelning med sekunder och minuter.
- tjugo kallas vegesimalsystemet
Anm.: Basen 20 användes på 300-talet av mayafolket, som oberoende av andra civilisationer, även uppfann såväl talet noll som positionssystemet. Tjogräkning förekommer än idag i de danska och franska språken.
- tolv kallas duodecimalsystemet
Anm.: Förekom i Storbritannien fram till 1970-talet vid räkning med mynt. Indelning av dagen och natten i tolv delar är ett annat exempel.
- sexton kallas hexagesimal- eller hexadecimal- eller sedecimalsystemet
Anm.: Talen representeras av följande sexton tecken: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E och F.
Systemets bas kan anges genom index. Det tal som den romerska siffran II betecknar,
skrivs med index i det decimala systemet 2tio och i det binära systemet 10två.
Positionssystem med liten bas använder få siffror (i tvåsystemet vanligtvis endast två) men redan små tal leder till långa talbeteckningar. Men om basen är stor blir talbeteckningarna förhållandevis korta.
Exempel:
Det tal som de romerska siffrorna MM betecknar, kan skrivas i
- tvåsystemet = 11111010000
- tiosystemet = 2000
- sextonsystemet = 7D0 (= 7x162 + 13x161 + 0x160 = 1792 + 208 + 0 = 2000)
Anm.: Olika positionssystem är inte bara möjliga utan också utbytbara och har sina för- och nackdelar.
3. Räkneord och tal
Man kan anta att människan i mänsklighetens begynnelse kunde "räkna på fingrarna". Att röra på fingrarna när vi räknar i antal av fem förefaller oss fortfarande naturligt. Att räkna till tio uppnås genom räkna på två händer. Med hjälp av tårna kan vi räkna upp till tjugo.
Att med enkla tecken representera tal genom att t.ex. rita streck i sanden, uppfann man troligtvis mycket tidigt. Det är även idag vanligt att man för protokoll över resultat från olika spel genom att ange lodräta streck för varje poäng och diagonalt snedstreck för att ange grupper av fem. Det romerska talsystemet baseras tydligen på sådana enkla tecken. Exempel härpå är I, II och III. Talet fem anges med V, som förmodligen symboliserar vinkeln mellan pekfingret och tummen.
För att räkna på fingrarna och tårna behöver man inte något språk; varken talat eller skrivet.
För att kommunicera individer emellan kan man anta att man senare uppfann ord för att muntligen utrycka enkla utrop och fåtaliga antal. Den muntliga kommunikationen är en social företeelse som förutsätter att åtminstone två individer kan frambringa liknande ljud och att dessa ljud uttrycker, representerar eller betyder något för parterna.
Orden utbyggdes framgent till muntliga satser i uttryck för frågor, önskningar, begär, befallningar och påståenden.
Skrivna ord finner man först i det sumeriska riket för cirka 6000 år sedan.
Räkneord är de ord som benämner och representerar tal.
Det är därför inte en allför djärv gissning att anta att räkneord användes muntligen i flera tiotusentals år innan de skrevs ner.
Om man jämför räkneord från mer eller mindre besläktade språk i dagens Europa, så finner man slående likheter, vilket tyder på ett uråldrigt gemensamt ursprung. Detta gäller framförallt talen 1 till 10.
Exempel: Tio på franska = dix; grekiska = deka; ryska = desjatj; litauiska = deshimt;
italienska = dieci.
Vidare finner man att i de flesta europeiska språk skrivs och uttalas från 11 till 19 rekursivt, dvs. att entalen anges före basen tio.
Exempel från det svenska språket:
- 11, uttalas "elva"; förmodad ursprungligt uttal "ettan över tio".
- 12, uttalas "tolv"; förmodad ursprungligt uttal "tvåan över tio".
- 13, uttalas "tretton"; förmodad ursprungligt uttal "tre- t(i)an ".
- 14, uttalas "fjorton"; förmodad ursprungligt uttal "fyra- t(i)an ".
- 15, uttalas "femton"; förmodad ursprungligt uttal "fem- t(i)an ".
- 16, uttalas "sexton"; förmodad ursprungligt uttal "sex- t(i)an ".
- 17, uttalas "sjutton"; förmodad ursprungligt uttal "sju- t(i)an ".
- 18, uttalas "arton"; förmodad ursprungligt uttal "åtta- t(i)an ".
- 19, uttalas "nitton"; förmodad ursprungligt uttal "nio- t(i)an ".
Anm.:
Räkneorden för 1-12 är av en annan typ än för 13-19; exempelvis "elva" och "tolv" men "tretton", "fjorton" etc. Kanske tillämpades även ett system med 12 som bas?
I många europeiska språk byter entalet plats efter talet tjugo så att bastalen uttalas först. Undantag utgör t.ex. det tyska språket.Exempel från det svenska språket: "tjugoett", "trettioett", "fyrtioett" osv
För vart tionde tal har man i de flesta språk valt särskilda ord.
Exempel från det svenska språket:
- tjugo, med betydelsen " två tiotal"
- trettio, med betydelsen "tre tiotal"
- fyrtio, med betydelsen "fyra tiotal"
- femtio, med betydelsen "fem tiotal"
- sextio, med betydelsen "sex tiotal"
- sjuttio, med betydelsen "sju tiotal"
- åttio, med betydelsen "åtta tiotal"
- nittio, med betydelsen "nio tiotal"
Dagens räkneord i de indoeuropeiska språken tyder mycket starkt på att man ursprungligen räknade med fingrar och tår och därvid använt 5, 10 och 20 som bas.
Som bekant erfordras endast tio siffror i decimalsystemet, nämligen de arabiska siffrorna
0, 1, 2, 3, 4, 5 6, 7, 8 och 9. Med hjälp av dessa siffror och positionssystemet kan alla tal uttryckas.
För var och en av siffrorna 0-9 erfordras ett motsvarande ord - ett "egennamn" - ett räkneord; på svenska orden "noll", "ett", "två", "tre", "fyra", "fem", "sex", "sju", "åtta" och "nio".Exempel:
- 10 kan skrivas = "ett noll"
- 11 = "ett ett"
- 21 = "två ett"
- 100 = "ett noll noll"
- 101 = "ett noll ett"
- 1000000 = "ett noll noll noll noll noll noll "
Det är således fullt möjligt att uttrycka alla tal med hjälp av endast tio räkneord.
Anm.:
Inom SI-systemet (Système International d`Unités) finns regler för hur man kan bilda multipelenheter med fastställda prefix (förstavelser); exempel: istället för 2000 meter kan man skriva 2 km, där k är prefixet och lika med 1000. Med de tio räkneorden kan man vid behov, med hjälp av dessa prefix enkelt uttrycka mycket stora men även mycket små tal för att minska mängden tecken.
När man i Europa för cirka 500 år sedan började tillämpa de arabiska siffrorna ersattes förvisso de romerska taltecknen och decimalsystemet infördes. Men man ändrade inte räkneorden; varken skrivsättet eller uttalet. Det är därför som vi idag använder räkneord som baseras på räkning av fingrar och tår.
Sammanfattningsvis kan sägas att vårt sätt att skriva och uttala räkneord är uråldrigt.
Decimalsystemet är av sådant sent datum att det ännu inte har påverkat vårt sätt att skriva och tala; måhända stundom även sättet att tänka.
År 1999 kan uttalas "nittonhundranittionio" eller "ettusenniohundranittionio" eller
"nitton nittionio" eller varför inte "ett nio nio nio".
År 2000 kan uttalas "tjugohundra" eller "tvåtusen" eller "tjugo nollnoll" eller
"två noll noll noll" eller varför inte kort och gott år "noll".